Семинар по геометрическому анализу

А. В. Левичев расскажет о содержании подготавливаемой (в соавторстве с Ю. Ю. Клевцовой, М. В. Нещадимом, А. Ю. Пальяновым) статьи. Смотрим в окно - там Солнце "движется". Считаем его точкой. Вводим оси $х, у$ - соответствующие "части рамы окна". В контексте специальной теории относительности, т. е. с применением параллельного переноса Ферми-Уолкера вдоль мировой линии "точечного" наблюдателя на поверхности Земли, найдены уравнения $х(t), у(t)$ таких траекторий. Тем самым, был реализован подход, намеченный в [1, Секция 6]. По-видимому (судя по графику), совокупность всех предельных точек одной такой траектории $T$ – это замкнутая область между двумя овалами (их уравнения пока не найдены). В ньютоновском пределе, т. е. при устремлении скорости света к бесконечности, получаем совпадение с астрометрией, согласно которой «видимые суточные движения светил совершаются по суточным параллелям». Авторы надеются на сотрудничество, так как: 1) не на все свои вопросы мы нашли ответы; 2) по данной теме докладчик сформулирует более общие задачи.

[1] О применении переноса Ферми-Уолкера в звёздных наблюдениях: общий подход и солнечная конкретика. Левичев А. В., Нещадим М. В., Пальянов А. Ю. / В Материалах IX Международной конференции “Знания – Онтологии – Теории” (ЗОНТ-2023), 2–6 октября 2023 г., Новосибирск. Под ред. Д. Е. Пальчунова. Новосибирск: Изд-во Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2023. С. 195-201.

Гёдель в статье 1949 года вводит в пространстве $S= \mathbb {R}^4$ лоренцеву метрику
$ds^2 = dx_0^2 + 2e^{x_1} dx_0 dx_2 + \frac {e^{{2x}_1}}{2}\, dx_2^2 - dx_1^2 - dx_3^2$
сигнатуры ($+,–,–,–$). Вселенная (пространство-время) Гёделя $S$ является решением уравнений Эйнштейна общей теории относительности. Гёдель показал, что $S$ является однородной Вселенной с вращениями с осью и началом в любой заданной точке из $S$, что существуют замкнутые изотропные (световые) петли; предположил существование машины времени (замкнутых временно-подобных петель) в $S$. Субраманьян Чандрасекар (лауреат Нобелевской премии по физике 1983 г., племянник лаурета Нобелевской премии 1930 г. по физике Венката Рамана Чандрасекара, автор книги «Математическая теория черных дыр») в совместной статье 1961 г. с Райтом классическим методом нашел геодезические в $S$, доказал, что в $S$ нет замкнутых временноподобных геодезических, но утверждал, что замкнутые изотропные петли Геделя — геодезические.

Автор доклада исследовал Вселенную Гёделя $S$ как группу Ли $G$ c левоинвариантной лоренцевой метрикой, нашел все временноподобные и изотропные геодезические в $S$ и доказал, что на самом деле в $S$ нет и замкнутых изотропных геодезических. $G$ характеризуется как простейшая 4-мерная некоммутативная односвязная группа Ли. В исследовании докладчик применил разработанные им методы геометрической теории оптимального управления для поиска геодезических на общих однородных (в т. ч. неголономных) псевдоримановых многообразиях.