Cеминар «Теоретические и вычислительные проблемы математической физики»

Детонационные волны традиционно моделируют в рамках уравнений газовой динамики для реагирующих сред.
Анализ уравнений показывает наличие решений вида бегущих волн (решение Зельдовича-фон Неймана-Дёринга), линейную неустойчивость таких решений при определенных параметрах задачи, а также существование различной сложности предельных циклов вдали от кривой нейтральной устойчивости.

Для понимания природы таких динамических процессов полезно рассмотрение упрощённых математических моделей. В докладе будут рассмотрены некоторые подходы к построению таких моделей и будет показано, насколько они способны отражать свойства полной системы уравнений газодинамики реагирующих сред. Будут рассмотрены задачи о распространении детонации в периодически неоднородной среде и о моделировании перехода медленного горения в детонацию.

В докладе приведены примеры прикладных задач, ключевую роль при решении которых играет анализ эволюции особых точек неизвестных функций (полюсов, точек ветвления и т. п.). Такие точки могут двигаться по сложным траекториям в окрестности области решения задачи. Выход особой точки в область, как правило, означает разрушение классического действительного решения.
В докладе обсуждается метод расчёта траекторий движения особых точек, основанный на приближениях Фурье–Чебышёва, Чебышёва–Паде, а также на дробно-рациональных барицентрических формулах. Метод использован для численного анализа одной задачи о течении несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости.

Предполагается дискуссия об аналитических подходах к выводу уравнений, описывающих эволюцию особых точек.

На основе реологической мезоскопической модели Покровского–Виноградова получены уравнения, описывающие нестационарные и стационарные течения несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости в цилиндрическом канале. Найдены точные решения уравнений для стационарного случая, получены ограничения на значения реологических параметров, обеспечивающие их существование. Проведено моделирование установления нестационарных течений, рассчитаны ограничения на значения параметров, обеспечивающие установление. Показано, что в ряде случаев эти ограничения совпадают с условиями существования стационарных решений.

Полученные результаты позволяют конструктивно описать процесс разрушения ламинарного течения типа Пуазейля, который является предвестником перехода к турбулентности. Ключевую роль в этом процессе с точки зрения механики играют размер и ориентация макромолекул полимерной жидкости, с точки зрения математики – особые точки решений. Предложенный сценарий разрушения ламинарных течений сопоставлен с данным натурных испытаний по ламинарно-турбулентным переходам из [Choueiri et al., Proc. Natl. Acad. Sci. USA. Vol. 118 No. 45, 2021].