Cеминар «Теоретические и вычислительные проблемы математической физики»

Доклад посвящен разработке и применению коллокационных методов (КМ) для решения двух классов задач: уравнений с частными производными в двумерных областях и нестационарных одномерных уравнений.

Для решения первого класса задач на основе метода коллокации и наименьших квадратов разработаны новые варианты КМ, проведена их верификация и сравнение с другими численными методами. Разработанные КМ применялись для моделирования изгиба круглых пластин с отверстиями.

Для решения второго класса задач разработан алгоритм на основе дробно-рациональных приближений, позволяющий отслеживать траектории особых точек решений задачи в комплексной плоскости. Его применение для моделирования одномерных нестационарных течений несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости позволило обнаружить режимы, качественно отличающиеся от аналогичных течений ньютоновских жидкостей.

Диссертационная работа на соискание степени доктора физико-математических наук по специальности 1.2.2 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

Научный консультант – Ткачёв Дмитрий Леонидович

На семинаре будут обсуждаться основные результаты работы и положения, выносимые на защиту, включающие:

• новые численные методы, алгоритмы и комплексы программ для решения нелинейных краевых и начально-краевых задач для дифференциальных уравнений, а также задач Коши для кинетических уравнений, учитывающие априорную информацию о гладкости и особенностях неизвестных функций;
   
• результаты моделирования пуазейлевских течений несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости, а также процессов установления и потери устойчивости таких течений при наличии температурного и магнитного полей с учётом диссипации тепла;
   
• результаты моделирования волновых взаимодействий в физических системах, описываемых нелинейным уравнением Шрёдингера: верификация теории волновой турбулентности, анализ стационарных и автомодельных спектров волнового действия; неклассические степенные спектры, описывающие конденсацию Бозе–Эйнштейна;
   
• валидацию разработанных моделей и верификацию созданных методов путём решения тестовых и прикладных задач и сравнения результатов моделирования с результатами других авторов и с экспериментальными данными.

Обсуждается вопрос о распространении стационарной детонационной волны в пористой среде и о зависимости скорости волны от величины потерь импульса и тепла при взаимодействии движущихся продуктов горения с препятствиями. Процесс детонации моделируется уравнениями Эйлера с реакцией аррениусова типа и с учетом потерь.

Приводятся результаты, показывающие, что учет конвективных потерь тепла может приводить к возникновению континуального множества решений задачи с низкими скоростями детонации для фиксированного масштаба потерь.

Отдельно рассматривается случай задачи с двухстадийной реакцией, включающей эндотермическую ступень, и показывается, что в этом случае возможно разрушение решения из-за возникновения на решении двух особых звуковых точек.