Грешнов А. В.
Теорема Дарбу на первой группе Гейзенберга.
Аннотация
Известная теорема Дарбу говорит о том, что биективное отображение $n$-мерного пространства, переводящее любые три точки, лежащие на одной прямой, на три точки, лежащие также на одной прямой, является аффинным преобразованием.
Рассмотрим каноническую первую группу Гейзенберга $H^1$ с системой координат $(x,y,z)$. Нами установлена следующая
ТЕОРЕМА. Пусть сюръективное отображение $F=(F1,F2,F3)$ канонической первой группы Гейзенберга $H^1$ на себя переводит любые две точки, лежащие на горизонтальной прямой, на две точки, также принадлежащие некоторой горизонтальной прямой. Тогда отображение $F$ является аффинно-контактным.
Здесь аффинно-контактное преобразование – это преобразование, сохраняющее контактную структуру группы $H^1$, и отображение $f=(F1,F2)$ является аффинным отображением, не зависящим от переменной $z$. Ослабление классических условий в теореме связано с индивидуальными особенностями группы $H^1$.
