Семинар по геометрическому анализу

Гёдель в статье 1949 года вводит в пространстве $S= \mathbb {R}^4$ лоренцеву метрику
$ds^2 = dx_0^2 + 2e^{x_1} dx_0 dx_2 + \frac {e^{{2x}_1}}{2}\, dx_2^2 - dx_1^2 - dx_3^2$
сигнатуры ($+,–,–,–$). Вселенная (пространство-время) Гёделя $S$ является решением уравнений Эйнштейна общей теории относительности. Гёдель показал, что $S$ является однородной Вселенной с вращениями с осью и началом в любой заданной точке из $S$, что существуют замкнутые изотропные (световые) петли; предположил существование машины времени (замкнутых временно-подобных петель) в $S$. Субраманьян Чандрасекар (лауреат Нобелевской премии по физике 1983 г., племянник лаурета Нобелевской премии 1930 г. по физике Венката Рамана Чандрасекара, автор книги «Математическая теория черных дыр») в совместной статье 1961 г. с Райтом классическим методом нашел геодезические в $S$, доказал, что в $S$ нет замкнутых временноподобных геодезических, но утверждал, что замкнутые изотропные петли Геделя — геодезические.

Автор доклада исследовал Вселенную Гёделя $S$ как группу Ли $G$ c левоинвариантной лоренцевой метрикой, нашел все временноподобные и изотропные геодезические в $S$ и доказал, что на самом деле в $S$ нет и замкнутых изотропных геодезических. $G$ характеризуется как простейшая 4-мерная некоммутативная односвязная группа Ли. В исследовании докладчик применил разработанные им методы геометрической теории оптимального управления для поиска геодезических на общих однородных (в т. ч. неголономных) псевдоримановых многообразиях.

В докладе речь пойдет об одномерных и пространственных неравенствах типа Харди с дополнительными слагаемыми, в которых участвуют геометрические характеристики областей, например, такие как объём, диаметр, внутренний радиус или максимальный конформный модуль области, а также рассмотрены их применения в теории достаточных условий однолистности, при оценке первого собственного числа $p$-лапласиана при граничных условиях Дирихле и при обосновании неравенств типа Реллиха. Будут рассмотрены усиленные дополнительными слагаемыми неравенства типа Харди в $L_1$, $L_2$ и $L_p$ случаях, весовые функции которых имеют степенные особенности, содержат тригонометрические функции, функцию Бесселя, и отдельно выделим неравенства для веса Якоби.

Для непрерывно-дифференцируемых или гладких функций с компактным носителем будут рассмотрены $L_1$, $L_2$ и $L_p$ неравенства типа Харди в пространственных областях. Неравенства в термине расстояния в среднем рассматриваются в произвольных областях, а в терминах функции расстояния до границы – в произвольных областях, в областях регулярных в смысле Дэвиса, в областях, удовлетворяющих условию конуса, в областях lambda-близких к выпуклым и в выпуклых областях. В плоских односвязных и двусвязных областях обосновываются $L_p$ конформно инвариантные неравенства.