Семинар «Геометрия, топология и их приложения»

Топологическое пространство называется субметризуемым, если существует непрерывная биекция из этого пространства на метризуемое пространство. В докладе будет дан обзор результатов (в том числе автора доклада) по следующим проблемам:

1. поиск условий, при которых непрерывный образ субметризуемого пространства субметризуем;
2. описание непрерывных образов различных подклассов класса субметризуемых пространств.

Также мы покажем, каким образом методы, использующиеся для работы с субметризуемыми пространствами, могут быть применены для исследования метризуемых пространств.

Многие известные результаты о динамике интегрируемых гамильтоновых систем и топологии их слоений Лиувилля существенно опираются на компактность совместного уровня первых интегралов или на полноту потоков их гамильтоновых векторных полей. Например, бифуркации таких слоений могут (в отличие от "компактного" случая) происходить без критических точек отображения момента, что существенно усложняет их обнаружение и изучение.

В докладе мы приведем обзор, включающий как недавние результаты анализа конкретных систем вихревой динамики, механики и геометрии, чьи слоения имеют некомпактные слои, так и свойства таких систем и их особенностей при определенных ограничениях. В том числе, будут изложены результаты докладчика о топологии и динамике «псевдоевклидовых» аналогов интегрируемых волчков, обсуждавшихся А. В. Борисовым и И. С. Мамаевым. Слоения этих систем, как оказалось, содержат как компактные, так и некомпактные слои, а также их некритические перестройки.

Для интегрируемости по Лиувиллю геодезического потока на плоскости достаточно одного интеграла, независимого от метрики.

По интегралу, полиномиальному и однородному по импульсам степени три, строится геодезическая 3-ткань. Эта ткань оказывается шестиугольной. Обратно, существование шестиугольной геодезической 3-ткани влечёт существование кубического интеграла.

По квадратичному интегралу строится однопараметрическое семейство геодезических сетей. Интегрируя биссекторные направления каждой такой сети, получаем 4-ткань с шестиугольными 3-подтканями. Обратно, существование геодезической сети с таким свойством влечёт существование квадратичного интеграла.

По интегралу, зависящему дробно-линейно от импульсов, строится однопараметрическое семейство геодезических слоений. Фиксируя 4 значения параметра, получаем геодезическую 4-ткань, двойное отношение касательных направлений которой постоянно. Обратно, существование такой 4-ткани влечёт существование дробно-линейного интеграла.

Для интегрируемости геодезического потока на трехмерном многообразии необходимо существование двух интегралов в инволюции. Известный пример с двумя квадратичными интегралами был построен Штэкелем в конце 19-го века. Оказывается, что соответствующая метрика и интегралы тоже описываются в терминах тканей максимального ранга.