Семинар «Геометрия, топология и их приложения»

Архив семинара

08 апреля 2024 г.

В. А. Кибкало (МГУ, Москва)
Некомпактные слоения интегрируемых систем и их бифуркации.

Аннотация

Многие известные результаты о динамике интегрируемых гамильтоновых систем и топологии их слоений Лиувилля существенно опираются на компактность совместного уровня первых интегралов или на полноту потоков их гамильтоновых векторных полей. Например, бифуркации таких слоений могут (в отличие от "компактного" случая) происходить без критических точек отображения момента, что существенно усложняет их обнаружение и изучение.

В докладе мы приведем обзор, включающий как недавние результаты анализа конкретных систем вихревой динамики, механики и геометрии, чьи слоения имеют некомпактные слои, так и свойства таких систем и их особенностей при определенных ограничениях. В том числе, будут изложены результаты докладчика о топологии и динамике «псевдоевклидовых» аналогов интегрируемых волчков, обсуждавшихся А. В. Борисовым и И. С. Мамаевым. Слоения этих систем, как оказалось, содержат как компактные, так и некомпактные слои, а также их некритические перестройки.

25 марта 2024 г.

Conference ID: 884 051 9805
Password: LG6EY2

С. И. Агафонов (São Paulo State University, Brazil)
Геодезические ткани и интегрируемые геодезические потоки.

Аннотация

Для интегрируемости по Лиувиллю геодезического потока на плоскости достаточно одного интеграла, независимого от метрики.

По интегралу, полиномиальному и однородному по импульсам степени три, строится геодезическая 3-ткань. Эта ткань оказывается шестиугольной. Обратно, существование шестиугольной геодезической 3-ткани влечёт существование кубического интеграла.

По квадратичному интегралу строится однопараметрическое семейство геодезических сетей. Интегрируя биссекторные направления каждой такой сети, получаем 4-ткань с шестиугольными 3-подтканями. Обратно, существование геодезической сети с таким свойством влечёт существование квадратичного интеграла.

По интегралу, зависящему дробно-линейно от импульсов, строится однопараметрическое семейство геодезических слоений. Фиксируя 4 значения параметра, получаем геодезическую 4-ткань, двойное отношение касательных направлений которой постоянно. Обратно, существование такой 4-ткани влечёт существование дробно-линейного интеграла.

Для интегрируемости геодезического потока на трехмерном многообразии необходимо существование двух интегралов в инволюции. Известный пример с двумя квадратичными интегралами был построен Штэкелем в конце 19-го века. Оказывается, что соответствующая метрика и интегралы тоже описываются в терминах тканей максимального ранга.

18 марта 2024 г.

В. Н. Сивкин (МГУ, Москва)
Многоточечные формулы в обратных задачах.

Аннотация

Доклад посвящен многоточечным формулам для нахождения старших коэффициентов в асимптотических разложениях, возникающих в теориях потенциала и рассеяния. В частности, рассматриваются различные формулы для нахождения преобразования Фурье потенциала по амплитуде рассеяния при нескольких высоких энергиях. Показано, что такой подход может существенно улучшить численную реализацию классических результатов, в том числе медленно сходящейся формулы Борна-Фаддеева для обратного рассеяния при высоких энергиях. Кроме того, данный метод может быть использован для восстановления преобразования Радона потенциала по граничным значениям волновых функций рассеяния при нескольких высоких энергиях. Также рассматривается задача определения полного заряда (электрического или гравитационного) на основе нескольких измерений во внешней области. Кроме того, показано, что многоточечные формулы допускают эффективную регуляризацию, устойчивую к шуму.

11 марта 2024 г.

Н. А. Даурцева (ИМ СО РАН)
Вклад Ш. Черна в проблему Хопфа.

Аннотация

В 2003 году Ш. Черн обратил своё внимание на известную проблему существования комплексной структуры на $6$-мерной сфере – проблему Хопфа. В этот период в неопубликованной работе он привёл свои аргументы в пользу того, что на $6$-мерной сфере не существует комплексных структур. В его рассуждении было скрыто предположение о некоторых свойствах почти комплексных структур на сфере, которыми они, вообще говоря, не обладают. Этот факт ослабляет результат Черна до следующего: Пусть $(S^6, g, J)$ – круглая сфера с почти комплексной структурой $J$, индуцированной умножением Кэли, тогда не существует комплексной структуры, совместимой с $2$-формой $\omega(*,*)=g(J*,*)$. В своём докладе я расскажу о проблеме Хопфа и подходе Ш. Черна к ее изучению.

19 февраля 2024 г.

И. А. Емельяненков (ИМ СО РАН)
Доказательство Хрушовского гипотезы Морделла-Ленга для полей функций.

Аннотация

Гипотеза Морделла о числе рациональных точек рациональных алгебраических кривых может быть переформулирована в виде гипотезы Ленга, утверждения о пересечении кривой в алгебраическом многообразии с конечно порождённой подгруппой. Эти гипотезы имеют естественные обобщения для полей функций. В 1996 г. Эхуд Хрушовский дал доказательство гипотезы Морделла-Ленга для полей функций, основанное на теории моделей. В докладе мы рассмотрим эту гипотезу, а также основные теоретико-модельные инструменты и идеи использованные в доказательстве.

12 февраля 2024 г.

В. Н. Потапов
2-раскраски проективной плоскости и скрытые параметры в квантовой механике.

Аннотация

Теорема Кохена-Спекера, наряду с неравенством Белла, доказывает невозможность объяснения результатов квантовой механики с помощью классической теории со скрытыми параметрами. Планируется рассказать о связи теоремы Кохена-Спекера с 2-раскрасками проективной плоскости и теоремой Глисона. Доклад частично основан на статье Conway, J.; Kochen, S. (2006). "The Free Will Theorem". Foundations of Physics. 36 (10): 1441.

05 февраля 2024 г.

Conference ID: 884 051 9805
Password: LG6EY2

V. H. Yañez Salazar (Nanjing Normal University, China)
The Markov and Zariski topologies of a free group.

Аннотация

Let $G$ be a group. A subset of $X$ is said to be elementary algebraic, if it is the solution set on $G$ of a given equation of the form $g_{1} x^{\epsilon_{1}} g_{2} x^{\epsilon_{2}} \dots g_{n} x^{\epsilon_{n}} = 1$ for some $g_1, \dots , g_n \in G$ and integers $\epsilon_1, \dots , \epsilon_n \in \mathbb {Z}$. $X$ is algebraic whenever it is an intersection of a finite union of elementary algebraic subsets of $G$. The algebraic subsets of a group $G$ form a basis of closed sets for a unique topology on $G$ known as the Zariski topology of $G$. Meanwhile, the family of all subsets of $G$ which are closed in every Hausdorff group topology of $G$ form a family of closed subsets for another unique topology on $G$ known as the Markov topology of $G$. The Markov topology on a group is always finer than its Zariski topology.

A problem of Markov from 1945 asks whether each unconditionally closed subset of a group is always algebraic; equivalently whether the Markov and the Zariski topologies of a group must always coincide. In this talk we give an overview of current advances in the theory centered around Markov’s problem, and present a recent positive solution to Markov’s problem for the non-abelian free groups. The results presented during this talk were achieved jointly by Dmitri Shakhmatov (Ehime University, Japan) and the speaker.

Email address: victor yanez@comunidad.unam.mx