Семинар «Обратные задачи математической физики»

Доклад по материалам диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 1.2.2 - "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ".
Научный консультант: Прохоров И. В., д.ф.-м.н., главный научный сотрудник Института прикладной математики ДВО РАН.

В докладе представлены новые подходы к решению задач компьютерной томографии рассеивающих сред, основанные на анализе качественных свойств решений начально-краевых задач для уравнения переноса излучения. Ключевой особенностью предложенных алгоритмов является использование специальных режимов облучения исследуемых объектов, асимптотических приближений и экстраполяционных процедур по параметрам зондирующих полей, предоставляющих единый универсальный математический аппарат для эффективного решения широкого круга задач томографической визуализации. Теоретические результаты верифицируются имитационным моделированием с помощью разработанного комплекса программ, реализующего алгоритмы Монте-Карло с применением графических ускорителей. Предлагаемые подходы позволяют существенно повысить контрастность и детализацию томографических изображений для рассеивающих сред различной природы - от промышленных материалов до биологических объектов.

Настоящее сообщение посвящено некоторым вопросам обращения классического и обобщенного интегрального преобразования Радона. Вообще говоря, основной вопрос состоит в определении информации об подынтегральной функции, если известны значения некоторых интегралов. Особенностью этого сообщения является анализ случая, когда интегрирование функции производится по гиперплоскостям в конечномерном евклидовом пространстве, а подынтегральные функции зависят не только от переменных интегрирования, но и от части переменных, характеризующих гиперплоскости. При этом количество независимых переменных, описывающих известные интегралы меньше, чем у неизвестной подынтегральной функции.

Рассматриваются разрывные подынтегральные функции, определенные на специально введенных псевдовыпуклых множествах. Ставится задача типа Стефана о нахождении поверхностей разрывов подынтегральной функции.

В работе приводятся формулы, основанные на применении специальных интегро-дифференциальных операторов к известным данным и позволяющие решать поставленную задачу.

Кроме того приводятся связи исследуемых проблем в четно-мерном и нечетно-мерном случаях объемлющего пространства.

В данном докладе изучаются многомерное и одномерное уравнения типа свертки первого и второго рода на ограниченном множестве.

Найден аналог известной теоремы Титчмарша о носителях в свертке для случая однородного уравнения первого рода типа свертки. Найдено также частное решение (в явном виде) неоднородного уравнения второго рода типа свертки с произвольной правой частью, носитель которой лежит на заданном множестве. Получены теоремы неединственности. В работе считается, что функция ядра в интегральном операторе равна нулю в некоторой окрестности нуля. Рассматриваются некоторые возможные приложения.