Семинары ИМ СО РАН

Пусть даны взаимно простые числа $k_1, k_2,\ldots k_d,$ и для каждого $k_i$ выбрано несколько «разрешенных» символов, число которых $r_i < k_i$. Множество натуральных чисел, которые в каждой из соответствующих систем счисления записываются только разрешенными символами, является конечным тогда и только тогда, когда

$ s=\frac{\ln r_1}{\ln k_1}+\frac{\ln r_2}{\ln k_2}+\ldots+\frac{\ln r_d}{\ln k_d}-(d-1)<0. (*)$

Пример.
2022 в десятичной системе записывается в троичной системе как 2202220. Если гипотеза верна, то множество таких чисел конечно, поскольку

$\ln(2)/\ln(3)+\ln(2)/\ln(10)-1=-0.068$.

Рассуждения в  пользу этой гипотезы основаны на сходимости или расходимости суммы некоторых вероятностей. Соответствующие вопросы имеют естественную формулировку в терминах хаусдорфовых мер на множествах $k$-адических чисел.

Рассмотрим случайное блуждание длины $n$

$S_0 = 0, \quad S_k = X_1 + \dots + X_k \quad k = 1, \dots, n$,

где $X_1, \dots, X_n$ являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами. В 1956 году Спицер показал, что

$\sum_{n=0}^\infty \mathbf P [S_1 \geq 0, \dots, S_n \geq 0] t^n = \exp\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n} \mathbf P [S_k \geq 0] t^n \right), \quad |t| < 1. $

В этом докладе мы обсудим, как обобщить этот результат на случай более высокой размерности.
Основано на совместной работе с Анной Гусаковой и Виталием Вахтелем.