Семинары ИМ СО РАН

Пусть даны взаимно простые числа $k_1, k_2,\ldots k_d,$ и для каждого $k_i$ выбрано несколько «разрешенных» символов, число которых $r_i < k_i$. Множество натуральных чисел, которые в каждой из соответствующих систем счисления записываются только разрешенными символами, является конечным тогда и только тогда, когда

$ s=\frac{\ln r_1}{\ln k_1}+\frac{\ln r_2}{\ln k_2}+\ldots+\frac{\ln r_d}{\ln k_d}-(d-1)<0. (*)$

Пример.
2022 в десятичной системе записывается в троичной системе как 2202220. Если гипотеза верна, то множество таких чисел конечно, поскольку

$\ln(2)/\ln(3)+\ln(2)/\ln(10)-1=-0.068$.

Рассуждения в  пользу этой гипотезы основаны на сходимости или расходимости суммы некоторых вероятностей. Соответствующие вопросы имеют естественную формулировку в терминах хаусдорфовых мер на множествах $k$-адических чисел.