Семинары ИМ СО РАН

В данном сообщении рассматриваются вопросы построения верхних границ для компонент среднеквадратических погрешностей для различных версий компьютерных функциональных ядерных алгоритмов приближения неизвестной вероятностной плотности по заданной выборке. Эти границы используются затем при решении задачи выбора таких версий ядерных алгоритмов, которые обеспечат заданный уровень погрешности приближения плотности.

С учетом особенностей рассматриваемых сеточных вычислительный схем, будут предложены новые критерии для оптимального выбора ядерных функций, включающие правильные сочетания величин и определяющих одновременно компоненты смещения и стохастические компоненты среднеквадратических погрешностей рассматриваемых ядерных алгоритмов.

Особо будет выделен важный частный случай – многомерный аналог полигона частот (здесь выбираемая ядерная функция является кусочно-постоянной), для которого удается найти параметры, обеспечивающие минимальность затрат (при заданном уровне погрешности). На тестовых примерах будет показано, что выбор известных типов ядерных функций, отличных от кусочно-постоянных, не позволяет проводить полную условную оптимизацию алгоритма и увеличивает время вычислений (при заданном уровне погрешности).

Установлено, что явления в квантовой механике имеют вероятностную природу. Например, мы не можем определить положение электрона в произвольный момент времени, но можем определить вероятностное распределение его положения, зная начальное распределение. Это можно интерпретировать, как отсутствие детерминизма в квантовой механике. Однако не все физики разделяли подобную интерпретацию. Ими была предложена концепция скрытых параметров, которые нельзя измерить, но которые однозначно определяют движение частиц. В 1964 году Джоном Стюартом Беллом было показано, что вне зависимости от наличия или отсутствия скрытых параметров есть некоторые вероятностные неравенства, которые можно экспериментально проверить, и в случае их нарушения можно сделать вывод об отсутствии скрытых параметров. Физиками Джоном Клаузером, Аланом Аспектом и Антоном Цайлингером были проведены эксперименты, которые показали нарушение неравенств Белла. За этот результат им была присуждена Нобелевская премия в 2022 году.

Неравенства Белла не нарушаются в классических вероятностных моделях. В частности, неравенства Белла выводятся в вероятностной логике Фагина, Хальперна и Мегиддо. Их нарушение означает, что для моделирования квантовой механики необходимы нестандартные вероятностные модели. В докладе речь пойдет о модифицированной вероятностной логике, в которой невыводимы неравенства Белла, и будет доказана теорема полноты для данной логики. Семантика данной логики задается в терминах квантовых тимов и является обобщением тим-семантики логики независимости, введенной Юко Ваананеном в 2007 году.

Сообщение основано на следующих работах:

[1] S. Abramsky and L. Hardy. Logical Bell Inequalities. Phys. Rev. A , 85(062114):1-11, 2012.
[2] T. Hyttinen, G. Paolini, J. Vaananen, Quantum team logic and Bell's inequalities. Rev. of Symb. Logic, V. 8, No. 4, 2015.
[3] J. T. Fokkens, On the reduction of quantum teams, MA thesis, University of Gothenburg.