Семинар «Геометрическая теория функций»

Каждому простому $n$-мерному многограннику $P$ c $m$ гипергранями в торической топологии сопоставляется $n$-мерное вещественное момент-угол многообразие $RZ_P$, склеенное из $2^m$ копий многогранника. На этом многообразии канонически действует группа $Z_2^m$, причём пространство орбит совпадает с $P$. Обычно рассматриваются подгруппы $H$ в $Z_2^m$, которые действуют свободно. Если подгруппа задана при помощи системы линейных уравнений ранга $r$, то свободность действия равносильна тому, что для каждой вершины многогранника столбцы матрицы $L$ системы, отвечающие гиперграням, содержащим эту вершину, линейно независимы. В этом случае фактор пространство автоматически является многообразием.

Мы рассмотрим случай произвольной подгруппы. В центре нашего внимания будут следующие вопросы: когда пространство орбит $N(P,L)$ является многообразием/сферой/рациональной гомологической сферой когда на таком многообразии действует инволюция, пространство орбит которой является сферой. Такие многообразия и инволюции называются гиперэллиптическими.

Из результатов М. А. Михайловой (1985) и К. Ланге (2019) можно вывести следующий критерий: Пространство $N(P,L)$ является замкнутым многообразием тогда и только тогда, когда для каждой вершины многогранника все различные столбцы матрицы $L$, отвечающие гиперграням, содержащим эту вершину, линейно независимы.

В рамках доклада планируется обсудить следующие результаты.

Для трёхмерного случая мы предъявим исчерпывающие ответы на оба вопроса, включая полную классификацию гиперэллиптических инволюций, лежащих в группе $Z_2^r$, канонически действующей на $N(P,L)$.

Примеры трёхмерных гиперэллиптических многообразий с геометрической структурой, моделируемой на пространствах $R^3, S^3, L^3, S^2 \times R$ и $L^2 \times R$, были построены А. Д. Медных и А. Ю. Весниным на основе гамильтоновых циклов, тета-графов и $K_4$-графов в 1-остове прямоугольных многогранников. Мы покажем, что эта конструкция по существу исчерпывает все трёхмерные многообразия $N(P,L)$ с гиперэллиптической инволюцией в $Z_2^r$, только для общего случая нужно рассмотреть вместо границы многогранника более общий сферический комплекс. Будут описаны все комплексы, допускающие более одной гиперэллиптической инволюции. В частности, будет показано, что трёхмерное малое накрытие допускает три гиперэллиптические инволюции тогда и только тогда, когда оно является рациональной гомологической сферой и тогда и только тогда, когда оно индуцировано тремя гамильтоновыми циклами на простом многограннике, такими что через каждое его ребро проходит ровно два из них.

Будет предъявлено обобщение конструкции А. Д. Медных - А. Ю. Веснина на $n$-мерный случай. Для этого мы сначала для произвольного простого $n$-мерного многогранника предъявим конструкцию подгрупп в $Z_2^m$, пространство орбит которых гомеоморфно $n$-мерной сфере.

Детали можно найти в препринте https://arxiv.org/abs/2403.00492.