Семинар «Геометрия, топология и их приложения»

Архив семинара

04 апреля 2025 г.

А. Н. Кудрявцев (ИТПМ СО РАН)
Явление гистерезиса при стационарном отражении ударных волн.

Аннотация

В докладе будет рассказано о численном моделировании перехода между стационарными регулярным и маховским отражениями ударных волн - классической проблеме газовой динамики, восходящей к Э. Маху и Дж. фон Нейману.

В результате проведенных расчетов было показано, что углы прямого и обратного переходов определяются различными критериями, т. е. смена ударно-волновых конфигураций сопровождается гистерезисом. Таким образом, внутри определенного диапазона параметров задачи в зависимости от предыстории могут быть получены как регулярная, так маховская стационарные ударно-волновые конфигурации.

Подробно изучены различные аспекты данного явления. В частности исследована роль трехмерных эффектов, предсказано существование пространственных ударно-волновых конфигураций, не наблюдавшихся ранее, исследована роль возмущений набегающего потока. Установлено, что возмущения набегающего потока способны инициировать переход к другому типу отражению, причем значительно проще вызвать переход к маховской конфигурации. Проведенные эксперименты в сверхзвуковых аэродинамических трубах, полностью подтвердили, качественно и количественно, данные численного моделирования.

Полученные результаты в значительной мере изменили сложившиеся представления об отражении ударных волн. Они показали, что гистерезис является типичной особенностью физических систем с взаимодействующими газодинамическими разрывами.

21 марта 2025 г.

А. Б. Богатырев (ИВМ РАН, МГУ, МЦФПМ, ВШЭ)
Дроби Золотарева: обзор.

Аннотация

Примерно 150 лет назад Е. И. Золотарёв нашел наилучшее равномерное рациональное приближение для ступенчатой функции на двух вещественных интервалах. Эти функции, известные сегодня как Золотаревские дроби, обладают множеством интересных свойств. В частности, они используются в радиоинженерии (фильтры Кауэра-Золотарева или эллиптические фильтры). Мы также обсудим высшие аналоги дробей Золотарева, которые возникают при синтезе многополосных электрических фильтров.

14 марта 2025 г.

М. Э. Иванов (ИМ СО РАН)
Инварианты виртуальных узлов и зацеплений (кандидатская диссертация).

07 марта 2025 г.

А. А. Егоров (ИМ СО РАН)
Оценки объемов многогранников в пространстве Лобачевского (кандидатская диссертация).

28 февраля 2025 г.

А. Ю. Буряк (НИУ Высшая школа экономики и Сколтех)
Обобщение соотношения ассоциативности во всех родах и интегрируемые системы.

Аннотация

Хорошо известно, что по некоторым геометрическим данным, называемым когомологической теорией поля, на пространстве модулей стабильных алгебраических кривых рода ноль с отмеченными точками можно построить решение уравнений ассоциативности, а дальше интегрируемую иерархию гидродинамического типа. За интегрируемость иерархии здесь отвечает некое соотношение во вторых когомологиях пространства модулей. Я расскажу про обобщение этого соотношения, которое позволяет строить дисперсионные интегрируемые иерархии по произвольной когомологической теории поля во всех родах. Получающиеся иерархии оказываются очень интересными, и вокруг них удаётся развить содержательную теорию. Доклад будет отражать основное содержание диссертации автора, представленной к защите в МИАН им. В. А. Стеклова.

31 января 2025 г.

С. Л. Ляхович (Физический факультет ТГУ, Томск)
Калибровочная симметрия и частично лагранжевы системы.

Аннотация

Мы рассматриваем классическую теорию поля, уравнения движения которой следуют из принципа наименьшего действия, но класс допустимых траекторий ограничен дифференциальными уравнениями. Ключевым элементом предлагаемой конструкции является полная калибровочная симметрия этих дополнительных уравнений. Несвободная вариация траекторий сводится к бесконечно малому преобразованию калибровочной симметрии уравнений, ограничивающих траектории. Мы явно выводим уравнения, которые следуют из требования, чтобы эта калибровочная вариация действия обращалась в ноль. Система уравнений для условных экстремумов не является лагранжевой как таковой, но допускает эквивалентную гамильтонову формулировку с неканонической скобкой Пуассона. Скобка, вообще говоря, вырождена. Альтернативно, уравнения, ограничивающие динамику, можно было бы добавить к действию с множителями Лагранжа с неограниченным изменением исходных переменных. В этом случае мы пришли бы к уравнениям Лагранжа для исходных переменных, включающим множители Лагранжа, и для самих множителей Лагранжа. В общем случае эти два метода не эквивалентны, поскольку множители могут привнести дополнительные степени свободы по сравнению со случаем уравнений, полученных несвободной вариацией действия. Мы проиллюстрируем общий метод двумя примерами. Первый пример — частица в центральном поле с изменяющимися траекториями, ограниченными уравнением сохранения момента импульса. Фазовое пространство получает еще одно измерение, и появляется дополнительная сохраняющаяся величина $K$, которая отвечает за прецессию траекторий. $K=0$ соответствует траекториям обычной лагранжевой динамики. Второй пример — линеаризованная гравитация с действием Эйнштейна-Гильберта, а класс изменяющихся полей ограничен линеаризованным уравнением Нордстрема. Показано, что эта условная экстремальная задача приводит к линеаризованным уравнениям гравитации Коттона.

24 января 2025 г.

Yi Huang (School of Mathematical Sciences, Nanjing Normal University, China)
An optimal time-singularity of the estimate for the heat semigroup related to the critical Sobolev embedding.

Аннотация

We give a certain $L^\infty(\mathbb{R}^2)$-estimate for the heat semigroup $\{e^{t\Delta}\}_{t\geq0}$ that is closely related to the fact $H^1(\mathbb{R}^2)\not\subset L^\infty(\mathbb{R}^2)$, i.e., the critical Sobolev (non-)embedding and the standard Brezis-Gallouet inequality. While we provide several approaches to show such an assertion, we also reveal that the time-singularity of our estimate as $t\rightarrow 0^+$ is indeed optimal. This talk is based on a recent work joint with Tohru Ozawa (Tokyo), Chenmin Sun (Paris) and Taiki Takeuchi (Kyushu).