Семинары ИМ СО РАН

В докладе речь пойдет об одномерных и пространственных неравенствах типа Харди с дополнительными слагаемыми, в которых участвуют геометрические характеристики областей, например, такие как объём, диаметр, внутренний радиус или максимальный конформный модуль области, а также рассмотрены их применения в теории достаточных условий однолистности, при оценке первого собственного числа $p$-лапласиана при граничных условиях Дирихле и при обосновании неравенств типа Реллиха. Будут рассмотрены усиленные дополнительными слагаемыми неравенства типа Харди в $L_1$, $L_2$ и $L_p$ случаях, весовые функции которых имеют степенные особенности, содержат тригонометрические функции, функцию Бесселя, и отдельно выделим неравенства для веса Якоби.

Для непрерывно-дифференцируемых или гладких функций с компактным носителем будут рассмотрены $L_1$, $L_2$ и $L_p$ неравенства типа Харди в пространственных областях. Неравенства в термине расстояния в среднем рассматриваются в произвольных областях, а в терминах функции расстояния до границы – в произвольных областях, в областях регулярных в смысле Дэвиса, в областях, удовлетворяющих условию конуса, в областях lambda-близких к выпуклым и в выпуклых областях. В плоских односвязных и двусвязных областях обосновываются $L_p$ конформно инвариантные неравенства.

Пусть даны взаимно простые числа $k_1, k_2,\ldots k_d,$ и для каждого $k_i$ выбрано несколько «разрешенных» символов, число которых $r_i < k_i$. Множество натуральных чисел, которые в каждой из соответствующих систем счисления записываются только разрешенными символами, является конечным тогда и только тогда, когда

$ s=\frac{\ln r_1}{\ln k_1}+\frac{\ln r_2}{\ln k_2}+\ldots+\frac{\ln r_d}{\ln k_d}-(d-1)<0. (*)$

Пример.
2022 в десятичной системе записывается в троичной системе как 2202220. Если гипотеза верна, то множество таких чисел конечно, поскольку

$\ln(2)/\ln(3)+\ln(2)/\ln(10)-1=-0.068$.

Рассуждения в  пользу этой гипотезы основаны на сходимости или расходимости суммы некоторых вероятностей. Соответствующие вопросы имеют естественную формулировку в терминах хаусдорфовых мер на множествах $k$-адических чисел.