Семинары ИМ СО РАН

Let $G$ be a group. A subset of $X$ is said to be elementary algebraic, if it is the solution set on $G$ of a given equation of the form $g_{1} x^{\epsilon_{1}} g_{2} x^{\epsilon_{2}} \dots g_{n} x^{\epsilon_{n}} = 1$ for some $g_1, \dots , g_n \in G$ and integers $\epsilon_1, \dots , \epsilon_n \in \mathbb {Z}$. $X$ is algebraic whenever it is an intersection of a finite union of elementary algebraic subsets of $G$. The algebraic subsets of a group $G$ form a basis of closed sets for a unique topology on $G$ known as the Zariski topology of $G$. Meanwhile, the family of all subsets of $G$ which are closed in every Hausdorff group topology of $G$ form a family of closed subsets for another unique topology on $G$ known as the Markov topology of $G$. The Markov topology on a group is always finer than its Zariski topology.

A problem of Markov from 1945 asks whether each unconditionally closed subset of a group is always algebraic; equivalently whether the Markov and the Zariski topologies of a group must always coincide. In this talk we give an overview of current advances in the theory centered around Markov’s problem, and present a recent positive solution to Markov’s problem for the non-abelian free groups. The results presented during this talk were achieved jointly by Dmitri Shakhmatov (Ehime University, Japan) and the speaker.

Email address: victor yanez@comunidad.unam.mx

В докладе речь пойдет об одномерных и пространственных неравенствах типа Харди с дополнительными слагаемыми, в которых участвуют геометрические характеристики областей, например, такие как объём, диаметр, внутренний радиус или максимальный конформный модуль области, а также рассмотрены их применения в теории достаточных условий однолистности, при оценке первого собственного числа $p$-лапласиана при граничных условиях Дирихле и при обосновании неравенств типа Реллиха. Будут рассмотрены усиленные дополнительными слагаемыми неравенства типа Харди в $L_1$, $L_2$ и $L_p$ случаях, весовые функции которых имеют степенные особенности, содержат тригонометрические функции, функцию Бесселя, и отдельно выделим неравенства для веса Якоби.

Для непрерывно-дифференцируемых или гладких функций с компактным носителем будут рассмотрены $L_1$, $L_2$ и $L_p$ неравенства типа Харди в пространственных областях. Неравенства в термине расстояния в среднем рассматриваются в произвольных областях, а в терминах функции расстояния до границы – в произвольных областях, в областях регулярных в смысле Дэвиса, в областях, удовлетворяющих условию конуса, в областях lambda-близких к выпуклым и в выпуклых областях. В плоских односвязных и двусвязных областях обосновываются $L_p$ конформно инвариантные неравенства.

Пусть даны взаимно простые числа $k_1, k_2,\ldots k_d,$ и для каждого $k_i$ выбрано несколько «разрешенных» символов, число которых $r_i < k_i$. Множество натуральных чисел, которые в каждой из соответствующих систем счисления записываются только разрешенными символами, является конечным тогда и только тогда, когда

$ s=\frac{\ln r_1}{\ln k_1}+\frac{\ln r_2}{\ln k_2}+\ldots+\frac{\ln r_d}{\ln k_d}-(d-1)<0. (*)$

Пример.
2022 в десятичной системе записывается в троичной системе как 2202220. Если гипотеза верна, то множество таких чисел конечно, поскольку

$\ln(2)/\ln(3)+\ln(2)/\ln(10)-1=-0.068$.

Рассуждения в  пользу этой гипотезы основаны на сходимости или расходимости суммы некоторых вероятностей. Соответствующие вопросы имеют естественную формулировку в терминах хаусдорфовых мер на множествах $k$-адических чисел.