Семинары ИМ СО РАН

Мы рассматриваем диффузионные процессы, ассоциированные с прямой и обратной задачей Коши для различных типов нелинейных параболических уравнений. Вначале мы рассматриваем обратную задачу Коши для нелинейного параболического уравнения и строим ассоциированный с ней диффузионный процесс как решение соответствующей системы прямых-обратных стохастических дифференциальных уравнений (ПОСДУ). Формулируются условия на коэффициенты исходной задачи, позволяющие установить существование и единственность решения ПОСДУ и устанавливается связь этого решения с исходной задачей Коши.

Для построения численного решения исследуемой задачи исследуется возможность сведения решения ПОСДУ к решению некоторой эквивалентной вспомогательной задачи сохастического управления для решения которой применяется техника нейронных сетей. Предлагаемый подход оказывается весьма эффективным при решении задач большой размерности. Далее рассматривается прямая задача Коши для некоторых типов нелинейных параболических уравнений и рассматривается возможность сведения ее к соответствующей обратной задаче Коши, что позволяет применить к ней описаный выше подход. В качестве примера мы применяем описанный подход к задаче построения оптимальногопортфеля в модели Хестона.

Многие известные результаты о динамике интегрируемых гамильтоновых систем и топологии их слоений Лиувилля существенно опираются на компактность совместного уровня первых интегралов или на полноту потоков их гамильтоновых векторных полей. Например, бифуркации таких слоений могут (в отличие от "компактного" случая) происходить без критических точек отображения момента, что существенно усложняет их обнаружение и изучение.

В докладе мы приведем обзор, включающий как недавние результаты анализа конкретных систем вихревой динамики, механики и геометрии, чьи слоения имеют некомпактные слои, так и свойства таких систем и их особенностей при определенных ограничениях. В том числе, будут изложены результаты докладчика о топологии и динамике «псевдоевклидовых» аналогов интегрируемых волчков, обсуждавшихся А. В. Борисовым и И. С. Мамаевым. Слоения этих систем, как оказалось, содержат как компактные, так и некомпактные слои, а также их некритические перестройки.